• はじめに
• 独立な２標本の母平均値の差の検定
• 等分散の検定
• Welchの検定
• Wilcoxonの順位和検定（Ｕ検定)

ﾄｯﾌﾟﾍﾟｰｼﾞ

神戸市看護大学

臨床研究において，治療法や薬剤の効果を比較検討する場合，統計学の手法を用いる必要がある。しかし，臨床に携わる大多数の人にとって，統計学は面倒で煩わしいものに違いない。その理由の一つとして，統計学の手法が多数あるため，実際の研究にどれを適用すればよいか，判断に迷うという点があげられよう。また，適当な手法を選んでも，その選択は正しかったのか，結果の解釈に誤りはないのかなど，若干の不安が残ることもあるだろう。

上記のような問題点を考慮し，ここでは従来とやや異なる方法により，統計学の解説を行うことにした。解説の手順として，まず例題を示し，それに対する計算の手順と結果の評価を行い，その後に用いた手法の理論と適用上の問題点などについて，簡単な説明を加えることにした。なお，各検定で用いる統計数値表は，統計学の成書には必ず掲載されているので，ここでは紙面の都合もあり，割愛することにした。読者は，それらの数値表を必要に応じて参照して欲しい。

実際にこれから解説していく手法は，以下のような内容である。すなわち，

　(1) 対応のない場合の２標本の比較

　(2) 対応のある場合の２標本の比較

　(3) クロス表の検定

　(4) 特殊な形式のデータの検定

　(5) 分散分析とそれに関する検定

　(6) 生命表解析について

などである。上記の分類の表題は，その中に含まれる手法にとって，必ずしも最適でないかもしれない。したがって，各回の表題とその内容に，一致しない部分が生ずるかもしれない。それらの点に関して，読者が混乱しないことを願う次第です。

�U．対応のない場合の２標本の比較

(1) 独立な２標本の母平均値の差の検定

例題1.1
急性膀胱炎患者を無作為に２群に分け，一方に新薬Ａを投与し，他方に旧薬Ｂを投与した。各群の標本数は50例，症状消失までの平均日数と標準偏差（不偏分散の平方根）は，Ａ群は 3.1（日）と1.2，Ｂ群は5.3と0.8 であった。この成績から，Ａ薬はＢ薬より優れているといえるだろうか。

［検定法1.1］

ここでは，まず２群の母分散は等しいものと仮定して，母平均値の差の検定を行う。

後述する(1.3)式に各数値を代入し，

		|3.1-5.3|
t0＝	────────────────────
	√[	(50-1)×1.22+(50-1)×0.82
		────────────×	(1/50+1/50)]
		50+50-2
＝	10.786

を求める。t₀の自由度は（50+50-2）＝98　となる。ｔ分布表から自由度98の両側５％点，１％点，0.1 ％点を求めると，1.986，2.629および3.397である（数値表に対応する自由度が掲載されていない場合，補間法により求めるか，その自由度より小さいもので最も近い自由度に対する数値を用いればよい）。これらの数値とt₀の値を比較すると，全ての数値でt0の方が大きい。したがって，水準0.1％で母平均値に有意差が認められる。

上記の検定結果から，Ａ薬は旧薬Ｂに比べ，症状消失に関して優れた効果を持つものと考えてよいだろう。

［解説1.1］

通常，「２つの母平均値の差の検定」は，２群の母分散が「等しい場合」と「等しくない場合」の２通りに分けて考える必要がある。ここでは，母分散が等しいものと仮定できる場合について，まず説明する。母分散が等しいことを仮定しない場合，もしくは等分散の検定（後述）で有意差が認められた場合については，別に説明する。

２群Ａ，Ｂの標本数をｍ，ｎとし，特定の変数の母集団での分布が正規分布に従い，そこから無作為に抽出されたデータをＡ群ではx₁, x₂, ..., x_m とし，Ｂ群ではy₁, y₂, ..., y_n とする。Ａ群の平均値をX_M とし，不偏分散をS_x²とすると，

XM＝(1/m)��ixi
Sx2＝(1/(m-1))��i(xi-XM)2 ･････ (1.1)

であり，同様にＢ群についても平均値をY_Mとし，不偏分散をS_yとすると，

YM＝(1/n)��iyi,
Sy2＝(1/(n-1))��i(yi-YM)2　　･････ (1.2)

である。

２群での母分散が等しいと仮定できる場合，以下の統計量を求める。すなわち，

	｜XM - YM｜
ｔ0＝	────────────────		･････ (1.3)
	(m-1)Sx2+(n-1)Sy2
	√[────────	×(1/m + 1/n)]
	m+n-2

を求める。t₀は，自由度ν，

　　ν＝　ｍ＋ｎ−２ ･････ (1.4)

のｔ分布に従う。したがって，ｔ分布表より両側α点（通常５％か１％)の値ｔ_α/2(ν)を求め，ｔ₀と比較する。

　　　　ｔ₀≧ｔ_α/2(ν)

ならば，水準αで有意差があるものとし，そうでなければ，２群の母平均値に差があるとはいえなくなる。

［検定法1.2］

例題1.1について，ここでは２群の母分散が等しいことを，あらかじめ仮定せずに，母平均値の差の検定を行う。

まず，２群の母分散が等しいかについて，「等分散の検定」を行う。(1.5)式より，

F0＝	1.22
	──	＝ 2.25
	0.82

を求める。F0は自由度(49,49)のＦ分布に従う。自由度(49,49)のＦ分布の上側2.5％点を数表より求めると，約1.76である。F0の値はこれより大きいので，両側５％水準で等分散の仮説は棄却される。すなわち，２群の母分散には有意差がある。

この結果は，Ａ薬とＢ薬の効果（症状消失までの日数）の分布のばらつき具合いが異なることを示している。したがって，この結果のみからでも２薬剤の効果は異なると結論できるが，分布の代表値である平均値についての検定は以下のようになる。

上記の結果から，２群の母分散を等しいものと仮定することはできなくなったので，前述のように(1.3)式を用いるのは，もはや適切ではない。ここでは，ウェルチの検定を行う。(1.6)式より，

	｜3.1 - 5.3｜
t0	────────			= 10.786
	1.22		0.82
	√[──	+	──]
	50		50

となる。

t₀の自由度νは，(1.7)式より，

	1.22		0.82
	(──	+	──)2
	50		50
ν =	───────────			= 85.4
	1.24		0.84
	─────	+	─────
	502x(50-1)		502x(50-1)

となる。自由度85のｔ分布表の両側0.1％点を数表から求めると，約3.411である。t₀はこれより大きいので，等分散を仮定した場合と同様に，高度に有意差が認められる。

上記の結果から，Ａ薬はＢ薬に比べ，平均としての効果は優れているが，効果の現れ方について，より個体差が大きいものと考えられる。

［解説1.2］

前述の解説1.1と同様に，２群Ａ，Ｂについて標本数をｍ，ｎとし，データの表記なども同一とする。Ａ群では，変数の分布が母平均μ_A，母分散σ_A²の正規分布に従い，Ｂ群では母平均μ_B，母分散σ_B²の正規分布に従うものとする。

解説1.1で述べた方法は，２つの母分散が「σ_A²＝σ_B²」という場合に，仮説「μ_A＝μ_B」を検定する方法であった。したがって，この方法を用いるためには，あらかじめ母分散が等しいことを，確認しておく必要がある。特定の理論により，等分散が仮定できる場合以外は，以下に述べる「等分散の検定」がよく用いられる。

仮説「σ_A²＝σ_B²」を検定するためには，

	Sx2
F0 =	──	･････ 　(1.5)
	Sy2

を求める。ただし，S_x²，S_y²は(1.1),(1.2)式で定義される各群の不偏分散である。

F₀は自由度（m-1,n-1）のＦ分布に，また1/F₀は自由度（n-1,m-1）のＦ分布にそれぞれ従う。したがって，両側αの確率で検定を行う場合，自由度（ν₁，ν₂）のＦ分布の上側α/2点をF_α/2（ν₁，ν₂）のように表すと，

　　F₀＞F_α/2(m-1,n-1)　または

　1/F₀＜F_α/2(n-1,m-1)

ならば仮説を棄却すればよい。そうでなければ，仮説を採択し，等分散を仮定して，解説1.1で述べた方法により，仮説「μ_A＝μ_B」を検定すればよい。ただし，(1.5)式によりF₀を計算する場合，F₀＞1　になるように，分子と分母を設定すればよい。

ところで，上記の手順で検定を２度行うと，各検定の有意水準をαとすると，全体の有意水準は2αとなる。したがって，全体の有意水準をαとするためには，「等分散の検定」も「母平均値の差の検定」も各水準をα/2とする必要がある。すなわち，かりに全体の有意水準を５％にしたい場合，F₀の比較にはＦ分布の上側1.25％点を用い，t₀の比較にはｔ分布の両側2.5％点を用いればよい。なお，このように有意水準を設定することは，等分散が仮定されやすくなり，また母平均値の差が有意になりにくくなることを意味している。

２つの母分散について等分散性を仮定せずに，仮説「μ_A＝μ_B」を検定する問題は，ベーレンス・フィッシャー問題として，歴史的に有名なものであり，興味深いものであるが，ここでは一般によく用いられている「ウェルチの方法」を紹介する。

等分散の前提なしに，仮説「μ_A＝μ_B」を検定するためには，

	｜XM - YM｜
t0 =	────────				･････ (1.6)
		Sx2		Sy2
	√	[──	+	──]
		m		n

を求める。t₀はｔ分布に従うが，その自由度νは，

	Sx2		Sy2
	[──	+	──]2
	m		n
ν =	─────────			･････ 　　(1.7)
	Sx4		Sy4
	────	+	────
	m2(m-1)		n2(n-1)

となる。ここで，自由度νは検定法1.2で示したように，整数になるとは限らない。νの値が10未満の場合，特別な表として「小数自由度のｔ分布表」が用意されている。また，νが10以上ならば，小数部を切り捨て，整数部のみを自由度として採用すればよい。検定の方法は，等分散が仮定できる場合とまったく同一に行えばよい。なお，標本数ｍ，ｎが等しい場合，(1.3)式と(1.6)式によるt₀の値は，完全に一致する。

(2)Wilcoxonの順位和検定

［例題1.3］
急性腎孟腎炎患者に対して，無作為にＡ薬とＢ薬を投与し，下熱日数を調べたところ，表１の「日数欄」に示したようなデータが得られた。このデータから，Ａ薬とＢ薬では下熱日数に差があるといえるだろうか。

表１　Ａ薬とＢ薬の投与による下熱日数

Ａ　薬		Ｂ　薬
日数	順位	日数	順位
2	2.5	2	2.5
2	2.5	3	7
2	2.5	3	7
3	7	3	7
3	7	4	12
4	12	4	12
4	12	5	15
4	12	8	17.5
6	16	10	19
8	17.5	*	22
*	22	*	22
*	22	*	22
計	135	計	165
*は下熱せず。

［検定法1.3］

表１のデータで明らかなように，観察期間内で下熱しない例がある。このため，測定値をそのまま用いて，母平均値の差の検定を行うことはできない。ここでは，測定値に順位を付け，それをもとに検定を行う。

表１に示したように，Ａ薬とＢ薬の区別なく，全データについて小さい順に順位を付ける。ただし，同順位のものについては，表１のように，その中間の順位を付けるものとする。すなわち，下熱日数が２日というデータが，Ａ薬で３つ，Ｂ薬で１つあり，これらについては，1,2,3,4の順位がつくが，その中間の順位である2.5を４つのデータに与えることにした。他の場合も同様である。なお，このように同順位がある場合を，「タイ」のある場合という。

Ａ薬について，(1.8)式で定義される順位和R_Aは表１に示したように，

　 R_A = 2.5+2.5+2.5+7+･･･+22+22 = 135

となり，同様にＢ薬の順位和R_Bは165となる。タイのない場合，標本数が小さければ，上記の順位和の小さい方と，「Wilcoxonの順位和の検定用の数表」の両側５％か１％について，対応する標本数についての値と比較し，求めた順位和が大きくなければ，有意差ありとすればよい（数値表によっては，大きい方の順位和を用いて，この逆に検定を行う）。

場合によっては，(1.12)式より，

U_A = 135 - 12x13/2 = 57

U_B = 165 - 12x13/2 = 87

のように，Mann-WhitneyのＵ統計量を求め，Wilcoxonの順位和検定と同様に，数値表と比較して検定を行うこともできる。しかし，ここではデータにタイがあるので，正規近似により有意差検定を行う。

Ａ薬，Ｂ薬群ともに標本数は12であるから，順位和R_Aの期待値E(R_A)は(1.14)式より，

　　E(R_A) = 12x(24+1)/2 = 150

となり，その分散V(R_A)は(1.15)式より，

	12x12
V(RA)=	────	x	［(243-24)-｛(43-4)+(53-5)+(53-5)+(23-2)+(53-5)｝］
	12x24x23
=	290.739

となる。これを，(1.17)式に代入することで，

	｜135 - 150｜
z0 =	───────	= 0.880
	√290.739

と求められる。標準正規分布の両側５％点は1.96であるから，z₀はこれより小さく，有意差は認められない。

上記の結果から，Ａ薬とＢ薬の投与による下熱日数の分布に差はなく，したがってその効果に違いがあるとは考えられないことになる。

［解説1.3］

Ａ群とＢ群の無作為抽出標本数をｍ，ｎとし，Ｎ＝ｍ＋ｎとする。特定変数に関するＡ群のデータをx₁,x₂,...,x_mとし，Ｂ群ではy₁,y₂,...,y_nとしよう。

これらのデータは，血圧，体重などのように定量的なものであっても，初めから順位として得られたものであってもよい。もしくは，「著効」・「有効」などのようにカテゴリ間に自然な順序のあるものでも構わない。

全体でＮ個のデータを，大きさの順に並べ，１からＮまで順位を付ける。ここでは，まず同順位がない，すなわちタイのない場合について説明する。

Ａ群でのデータの順位をs₁,s₂,...,s_mとし，Ｂ群での順位をr₁,r₂,...,r_nとする。

Ａ群，Ｂ群での順位和をそれぞれR_A，R_Bとすると，

　　R_A = s₁+s₂+･･･+s_m

　　R_B = r₁+r₂+･･･+r_n　･････ 　(1.8)

となる。ここで，順位は１からＮまでなので，

　　R_A + R_B = N(N+1)/2　･････ 　(1.9)

の関係が成り立つ。ここで，説明を簡単にするため，R_A ＞ R_B であるものとする。

２群の分布の形状は同一であるが，その位置に差があるかを検定するためには（一方がより高い方に分布がずれているか否か），適当な定数c₁，c₂を用いて，

　R_A≧c₁　 または　 R_B≦c₂　･････　(1.10)

のとき，有意差ありと検定できる。これが，「Wilcoxonの順位和検定」と呼ばれる方法である。

c₁，c₂は有意水準をαとしたとき，(1.10)式が成り立つ確率が等しいように，設定される。すなわち，

　　Pr(R_Ａ≧c₁) = Pr(R_B≦c₂) = α/2 ･････　　(1.11)

となるように定められる（両側検定）。

実際にはαとして，５％や１％などについて，２群の標本数が20以下ぐらいまでの場合，c₁，c₂をいくつにして検定するかを示す数値表が用意されている。また，用いる数値表によっては，以下のように順位和を変換して用いることもある。

Ａ群の標本数はｍなので，順位和R_Aから期待される最小値を引くと，

　　U_A = R_A - m(m+1)/2　･････ 　(1.12)

となる。同様に，Ｂ群については，

　　U_B = R_B - n(n+1)/2

となる。U_A，U_Bは「Mann-WhitneyのＵ統計量」と一致する。

Ｕ統計量による検定も，適当な定数u₁，u₂を用いて，

　 U_A≧u₁　　または　 U_B≦u₂ ･････ (1.13)

のとき，有意差ありとすればよい。

実際の検定では，用いる数表が順位和に関するものかＵ統計量に関するものかにより，上記のうち一方の方法を選択する必要がある。なお，数表が順位和やＵ統計量に関して，小さい方について作成されていることが多いので，応用上注意して欲しい。

標本数が比較的大きい場合，以下のような正規分布による近似を用いて，検定を行うことができる。Ａ群の順位和R_Aの期待値は，

　　E(R_A) = m(N+1)/2 ･････ (1.14)

となり，分散は，

　　V(R_A) = mn(N+1)/12 ･････ (1.15)

となる。Ｂ群については，たんに上式のmとnを交換するだけでよい。また，Ｕ統計量についての期待値は，

　　E(U_A) = mn/2 ･････ (1.16)

となり，分散は順位和R_Aの分散と一致し，(1.15)式で与えられる。

期待値と分散を用いて，

	｜RA-E(RA)｜-0.5
z0 =	────────
	√V(RA)
	｜UA-E(UA)｜-0.5
=	────────	･････ (1.17)
	√V(UA)

を求め，標準正規分布の両側α点z_α/2と比較し，z₀が大ならば有意差ありとすればよい。実際には，両側５％点1.96か１％点2.58を用いて比較すればよい。なお，(1.17)式の分子の0.5は，離散的な順位データを連続的な正規分布へあてはめる場合，近似がより良くなるように行うもので，「連続性の補正」とよばれるものである。大部分の場合，この補正により近似が良くなるが，有意確率が小さくなると補正をしないほうがよい場合もある。また，２群の標本数のうち小さい方が４程度でも，上記の正規近似はかなりよく，８以上ならば実用上十分である。

次ぎに，タイのある場合について，若干の説明を加える。一般に，順位和検定もしくはＵ統計量による検定のための数値表は，タイのない場合について作成されている。したがって，タイのある場合にはそれを使用することはできない。そのような場合，自分で順位和の分布を全て数え上げ，確率計算をするか，以下のように標準正規分布による近似を用いることになる。

いまN個のデータがk個の個となる値をとるものとする。d₁個は最小値に等しく，d₂個が次ぎに大きく，以下順にd_k個が最大値に等しいものとする。ｉ番目に大きな値をとるデータには，その中間順位としてs_i^*を与えるものとしよう。すなわち，

　　s_i^*=(1+d_i)/2+Σ_jd_j, (i=1,2,...,k) ･････ (1.18)

である。Ａ群の順位和をR_Aとすると，その期待値は(1.14)式と同様に，

　　E(R_A^*) = m(N+1)/2 ･････ (1.19)

となり，分散は，

	mn
V(RA*)=	────	｛(N3-N)-Σi(di3-di)｝
	12N(N-1)		･････ (1.20)

となる。タイがない場合，d₁=d₂=･･･=d_N=1となり，上式は(1.15)式と一致する。また，Ｕ統計量については，

　E(U_A^*)=mn/2 , V(U_A^*)=V(R_A^*) ･････ (1.21)

の関係が成り立つ。検定のためには，

	｜RA*-E(RA*)｜
z0 =	───────
	√V(RA*)
	｜UA*-E(UA*)｜
=	───────
	√V(UA*)	･････ (1.22)

を求め，タイのない場合と同様の手順で検定すればよい。なお，中間順位を許しているため，連続性の補正は行わない。

上式による正規近似は，比d₁/N,...,d_k/Nが１に近づくと精度が悪くなる。したがって，特定のタイのデータの個数が極端に多い場合，正規分布による近似を用いるべきではない。

［例題1.4］
表２は，２種の薬剤Ａ，Ｂを慢性前立腺患者に無作為に投与し，その効果を調べたものである。このデータから，ＡとＢの薬効について有意差があるか検定せよ。

表２　Ａ薬とＢ薬の症状改善について

	著効	有効	不変	悪化	計
Ａ薬	8	10	6	1	25
Ｂ薬	3	9	10	4	26
計	11	19	16	5	51

［検定法1.4］

表２のようなクロス表は，一般にχ²検定がよく用いられる。しかし，効果を表す４つのカテゴリに順序が付けられると考えられるので，タイのある場合のWilcoxonの順位和検定を行うことにする。

「著効」には(1.18)式を用いて，順位として6を，同様に「有効」には21，「不変」には38.5，「悪化」には49を与える。Ａ薬群の順位和は，

　　R_A^* = 8x6+10x21+6x38.5+1x49 = 538

となり，その期待値は(1.19)式より，

　　E(R_A^*) = 25x(51+1)/2 = 650

となる。また，分散は(1.20)式より，

	25x26
V(RA*)=	────	x［(513-51)-｛(113-11)+(193-19)+(163-16)+(53-5)｝］
	12x51x50
=	2554.118

となる。これを(1.22)式に代入すると，

	｜538-650｜
z0 =	─────	= 2.216
	2554.118

と求められる。標準正規分布の両側５％点は1.96であり，z₀はこれより大きく，したがって有意差が認められる。この結果から，Ａ薬はＢ薬に比べ，症状改善に有効なものと考えられる。なお，後述のようにクロス表の検定としてχ2検定を用いると，χ2値は5.108となり，その有意確率は0.164（16.4％）となり，有意とはならない。Wilcoxonの順位和検定では，カテゴリ間の順序に関する情報を用いるため，標本数が小さい場合に，有効な方法である。しかし，処理効果について順序を付けず，たんに２群の効果の差を調べたいのならば，通常のχ²検定を用いた方がよい。

最後に，実際に応用する場合に必要となる統計数値表として参考文献の(1)を，また各手法についてもっと知りたい読者のためには，(2),(3),(4)を参照されたい。

参考文献

1. 統計数値表編集委員会編：簡約統計数値表，日本規格協会，1977
2. 豊川裕之，柳井晴夫編著：医学・保健学の例題による統計学，現代数学社，1982
3. Ｅ．Ｌ．レーマン原著，鍋谷清治他訳：ノンパラメトリックス，森北出版，1978(E. L. Lehmann : Nonparametrics, Holden-Day, 1975)
4. 竹内啓，大橋靖雄：統計的推測−２標本問題，日本評論社，1981

ﾄｯﾌﾟﾍﾟｰｼﾞ

神戸市看護大学