• 対応のあるデータからなる２標本の比較
• 測定値の比で表されたデータ
• 発生率の小さな特性の比較

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神戸市看護大学

１．対応のあるデータからなる２標本の比較

［例題4･1］
高尿酸血症患者に対して，無作為に９例にＡ薬を，８例にＢ薬をそれぞれ投与した。投与前と投与１週間後の尿酸値を調べたところ第１表のようなデータが得られた。これから，両薬間に効果の差があるといえるだろうか。

第１表　２群での尿酸値

Ａ薬群		Ｂ薬群
前	後	前	後
11.0	6.5	13.5	7.5
10.2	8.0	10.7	6.6
9.8	7.5	11.2	9.3
10.9	8.1	13.1	6.8
9.0	7.2	10.4	5.9
9.7	8.9	9.6	6.8
10.3	6.8	14.0	8.0
13.0	9.5	9.9	5.3
11.6	6.7
単位 mg/dl

［検定法4･1］

２群の各標本についてのデータは，投与前後の対応のあるものとなっている。各薬剤の効果は，投与前後の測定値の差で示せるものと考えられるので，まず第２表のように測定値の差を各標本について求める。なお，第２表では投与前の値から投与後の値を引いたものを示している。

第２表　前後の差のデータ

Ａ薬群	Ｂ薬群
4.5	6.0
2.2	4.1
2.3	1.9
2.8	6.3
1.8	4.5
0.8	2.8
3.5	6.0
3.5	4.6
4.9
総和 26.3	36.2
2乗和 90.61	181.36

第２表のような形式にデータを変えることにより，すでに連載１回目で取り上げた「２つの母平均値の差の検定」の問題として扱えるようになる。解説1･1，1･2を参考に検定を行う。

まず，Ａ薬群の平均値M_Aと不偏分散S_A²を求める。第２表に示した前後の差の総和と２乗和から，

　M_A = 26.3/9 = 2.9222

および，

　S_A² = 90.61/8 - 2.92222×9/8 = 1.7196

のように求められる。同様に，Ｂ薬群の平均値M_Bと不偏分散S_B²は，

　M_B = 36.2/8 = 4.525

および，

　S_B² = 181.36/7 - 4.5252×8/7 = 2.5079

となる。

すでに，説明したように「２つの母平均値の差の検定」は２群の母分散が等しいか否かにより用いる方法が異なる。したがって，まず「等分散の検定」を行う。

２つの不偏分散の比F₀は，

　F₀ = 2.5079/1.7196 = 1.458

である。F₀は自由度（8,7）のＦ分布に従う。また，数値表から自由度（8,7）のＦ分布の上側2.5％点の値は4.899であることがわかる。F₀の値はこれより小さいので，有意とはならず，等分散を仮定することができる（解説1･2参照のこと）。したがって，ここでは等分散の場合の２つの母平均値の検定を行う。

解説1･1で示した（1.3）式を用いて，

	｜2.9222 - 4.525｜
t0 =	―――――――――――――――――――
		8×1.7196+7×2.5079		9+8	]
	√[	――――――――――	×	―――
		9+8-2		9×8
=	2.283

を求める。t₀はｔ分布に従い，その自由度は（1.4）式から，9+8-2=15と求められる。自由度15のｔ分布の両側５％点の値は，数値表から2.131，１％点は2.602であることがわかる。t₀の値は５％点より大きいが，１％点よりは小さい。したがって，５％水準で有意差があるものと認められる。

この結果，Ａ薬とＢ薬には尿酸値の減少に関する効果に差があり，Ｂ薬での効果がより大きいものと考えられる。

［解説4･1］

第１表に示したデータは，２群の各標本がそれぞれ対応のある場合のものである。このような場合，各群での薬効の有無を検定することもできるし，例題のように２群間での効果の差を検定することもできる。

いま，標本ｉのある処理の前後での特定の変数の測定値をx_i，y_iとしよう。仮定されるモデルは，

　x_i = μ + ε_i　　・・・　(4.1)

というものである。ここでμは定数であり，母平均値に一致する。また，ε_iは誤差項であり，分布として平均０，分散σ²の正規分布を仮定することが多い。

y_iについては，上記のモデルに処理の効果を加えて，

y_i = μ + δ + ε_i　　・・・　(4.2)

とする。ここで，μは（4.1）式の場合と同様であり，δは処理の平均的な効果を示す定数である。ε_iは同様に誤差項であり，分布として平均０，分散σ²の正規分布を仮定する。

ここで，２つの測定値の差をとると，

　d_i = y_i - x_i = δ + ε_i　　・・・　(4.3)

となる。誤差の分布としては，上記と同様に正規分布を仮定する。

(4.3）式を仮定して，処理の効果について仮説「δ＝０」を検定するのが，解説2.1で説明した「対応のある場合の母平均値の差の検定」である。

例題のように，対応のあるデータが２組ある場合には，第２表のような形式にすることで，通常の独立な２標本の母平均値の差を検定する問題として扱えるようにできる。これは，（4.1）式と（4.3）式を比べると判るように，２つの母平均μ₁とμ₂について仮説「μ₁＝μ₂」を検定する問題と，処理の効果についての仮説「δ₁＝δ₂」を検定する問題が，形式的に同一であることによる。すなわち，誤差の分布に正規分布を仮定することにより，解説1･1，1･2で説明したように，ｔ分布を利用した検定が可能となる。また，誤差の分布に正規分布を仮定するのが適当でない場合には，解説1･3で説明した「Wilcoxonの順位和検定」を用いることもできる。詳しい方法については，それぞれの解説を参照して欲しい。

［例題4･2］
急性副睾丸患者に対し無作為に，それぞれ６例にＡ薬を，５例にＢ薬を投与し，投与前に対する投与開始３日目の末梢血白血球数の比を求めた。第３表は，各薬群ごとに投与前の数値を100とした場合の，投与後の白血球数の比を示したものである。このデータから，両薬群間の効果に差があるといえるだろうか。

第３表　投与前後の白血球数の比

Ａ薬群	Ｂ薬群
92	80
85	75
88	78
95	82
84	88
74
数値は投与前の値を100とした場合のもの。

［検定法4･2］

このようなデータでは，単純に比の平均値を求めて，２つの母平均値の差の検定を行うことはできない。後述するように，２つの変数の比をとったものの（誤差の）分布に正規分布を仮定するには，かなり無理があるためである。

第４表　白血球数の比の順位

Ａ薬群	Ｂ薬群
10	4
7	2
8	3
11	5
6	9
1
順位和 43	23

ここでは，投与前後の測定値の比の大きさの順序に意味があるものとして，すでに解説1･3で説明した「Wilcoxonの順位和検定」を行う。第４表は，第３表のデータについて，数値の小さい順に１から11まで順位を付けたものである。順位和を求めると，表中に示したようにＡ薬群43，Ｂ薬群23となる。すでに説明したように，数値表から有意となる限界の順位和を求め，それとの比較で検定が可能である。

数値表から，２つの標本数が６と５の場合の下側2.5％点の順位和は18であることがわかる。小さい方の順位和は23であり，これより大きいので有意とはいえない。したがって，両側５％水準で両薬に有意差があるとは言えないことになる。

［解説4･2］

第３表のようなデータを扱う場合，よく犯す誤りはデータが「比率（百分率）」を示すものとして分析することである。

例えば，ある薬物を50名に服薬させたところ30名の症状の改善がみられたとしよう。この場合，改善率は30/50＝0.6，すなわち60％であるが，このように全体の個数に対するある部分の個数の割合を「比率(rate)」という。(注：「比率」という呼称は「比ratio」と「率rate」を混ぜ合わせて用いたもので，できるだけ使用しない方がよい。「割合」を使うべきであろう。6/18/97）

これに対して，男の人数が50，女の人数が40の場合，50/40＝1.25であるが，これは「比(ratio)」という。比は，単に２つの変数の測定値の除算の結果である。したがって，第３表に示したような，投与前後の測定値について，一方を他方で除したものは「比」である。

上記のように「比率」と「比」はよく混同されるが，明確に区別すべきものである。

一般に，データを比の形で収集するのは避けるべき方法である。比が意味を持つ場合というのは，２変数X，Yにおいて，標本ｉのデータx_i，y_iの比の間に，

　　y_i/x_i = ρ + ε_i　　・・・　(4.4)

のような関係が成り立つ場合だけだからである。ここで，ρは定数，ε_iは誤差項であり，正規分布に従うものとする。

すでに述べたように，変数の測定値について(4.1)式のようなモデルが妥当であり，誤差が正規分布に従うと仮定できる場合，そのような２変数の測定値の比について，(4.4)式の関係が成り立つとは考えがたい。したがって，比で得られたデータについてｔ検定などを用いるべきではない。

例題4･2では，比の大小関係に意味のあるものとして順位和検定を行ったが，この方法が必ずしも妥当なものかどうかは，若干問題があるかもしれない。すなわち，比の大きさの順位といったものが，処理の効果を反映するものかという問題である。これは，研究上設定する仮説の問題であるといえよう。できれば比のデータではなく，第１表のように投与前後の測定値を，そのままデータとして収集した方が分析上好ましい場合が多い。一般に，データが数値で測定される場合，そのままの数値をデータとして保存し，必要に応じて加工した方が研究上便利なことが多いものと考えられる。初めから，測定値を適当に区切って，「正常」・「境界」・「異常」のような形や比をとったもので集めると，もとのデータが必要な場合に，測定値を再現することは不可能である。

第５表　尿酸値の比

Ａ薬群	Ｂ薬群
0.591 ( 7)	0.556 ( 3)
0.784 (14)	0.617 ( 8)
0.765 (13)	0.830 (16)
0.743 (12)	0.519 ( 1)
0.800 (15)	0.567 ( 4)
0.916 (17)	0.708 (10)
0.660 ( 9)	0.571 ( 5)
0.731 (11)	0.535 ( 2)
0.578 ( 6)
比は，投与後／投与前。( )内は順位。

第１表のデータが第５表に示すように，投与前後の測定値の比で示されているとして，順位和検定を行ってみよう。表中の（）内に順位を示しておいた。Ａ薬群の順位和は104，Ｂ薬群の順位和は49である。数値表から，２つの標本数が９と８の場合の下側2.5％点の順位和を求めると51であることがわかる。Ｂ薬群の順位和は49であり51より小さいので，両側５％水準で有意差が認められることになる。この結果は，検定法4･1の結果と大差ない。したがって，第１表のデータに関しては，データの差をとるか，比をとるかによって検定結果に影響はほとんどないことがわかる。差に意味があるのか，比に意味があるのかは，研究上の仮説やモデル基づいて，吟味されるべきであろう。しかし，第３表のデータでは投与前後の差のデータは得られないため，このような比較は不可能である。

特定のデータに対する検定方法は，１つだけとは限らないので，生のデータを保存しておくことが肝要と思われる。

［例題4･3］
人口23,500人のＡ町と人口6,800人のＢ村で，５年間に発見された膀胱癌患者数は，それぞれ15名と８名であった。２つの集団で膀胱癌の発生率に差があるといえるだろうか。

［検定法4･3］

地域における特定の疾病の罹患率や死亡率を比較する場合，実際には各地域の男女比や年齢別の人口構成の相違などが問題となり，死亡率などの標準化を行う必要が生じるが，ここではその点に関しては，考慮しないことにする。

各地区の５年間での発生率を求めると，Ａ町では，

　　P_A = 15/23500 = 6.383×10^-4

となり，Ｂ村では，

　　P_B = 8/6800 = 1.177×10^-3

となる。見かけ上は，Ｂ村の方が発生率は高いようである。

２地区の発生率は，上記のように極めて小さく，かつ人口数が大きいので，膀胱癌の発生はポワソン分布に従うものと考えてよいだろう。２地区での発生率に差がないとすると，発生数の差は地区の人口数によるものとなるだろう。Ａ町の人口の割合は，

　P = 23500/(23500+6800) = 0.7756

である。上記の人口の割合で，患者の発生数の差が生じるとすれば，患者数の分布は２項分布に従うことになる。

したがって，23名中15名以下の患者がＡ町で発生する確率は(4.11)式を用いて，

	15	23!
p0 =	Σ	――――――	×Pk(1-P)23-k
	K=0	k!･(23-k)!
=	0.1233

と求められる。上記の確率は片側検定のためのものなので，数値を２倍すると0.2466，すなわち約24.7％となり，５％水準に達しない。

この結果から，２地区で膀胱癌の発生率に差があるとはいえないことになる。

［解説4･3］

ある事象の発生率をｐとすると，ｎ人中ｋ人 (k=0,1,2,...,n) にその事象が発生する確率prob(k)は，

	n!
prob(k)=	―――――	×Pk(1-P)n-k	・・　(4.5)
	k!･(n-k)!

により求められ，その分布は「２項分布」と呼ばれる。

２項分布において，発生率ｐが極めて小さく，かつ標本数ｎが極めて大きい場合，

　　m = np　・・・　(4.6)

としたとき，発生数がｋとなる確率は，

	mk
prob(k) =	――	･e-m　　(k=0,1,...)　・・　(4.7)
	k!

により近似することができる。ただし，ｅは自然対数の底2.71828...である。上記の分布は「ポワソン分布」と呼ばれるものである。

例題4･3は，２つのポワソン分布の比較ということになるが，これは２つの母比率の差の検定を行うのと同じことになる。２つの集団での標本数をn₁,n₂とし，特定の事象の発生数がk₁,k₂である場合，その発生率はそれぞれ，

　p₁ = k₁/n₁ , p₂ = k₂/n₂　・・・　(4.8)

となる。p₁,p₂が０に近ければ，標本数が極めて大きい場合，その事象の発生は独立にポワソン分布に従うものとみなせる。各発生率が比較的大きい場合，「２つの母比率の差の検定」のためには解説3･2で説明した「４分表の検定」を用いればよい。

発生率が非常に小さい場合，仮説「２つの母比率は等しい」を検定するためには以下の方法を用いればよい。２群での発生数の和を，

　t = k₁ + k₂　・・・　(4.9)

とする。発生率に差がなければ，２群での発生数は各標本数にのみ依存するはずである。いま，２つの発生率に関してp₁，p₂であるとする。標本での発生率の小さい群の，全体に対する標本数の割合Pは，

　P = n₁/(n₁+n₂)　・・・　(4.10)

となる。全体の発生数ｔが与えられた場合，群１での発生数は比率をPとした２項分布に従い，発生数がk₁以下となる確率p₀は，

	k1	t!
p0 =	Σ	―――――	･Pk(1-P)t-k　・・・　(4.11)
	k=0	k!･(t-k)!

により求められる。p₀は片側確率なので，両側検定のためには，値を２倍して用いればよい。例題では上記の式を用いたが，標本数の比率Pが０や１に近い値でなければ，以下の正規分布による近似を用いることができる。すなわち，

	｜k1 - tP｜- 0.5
z0 =	――――――――――	・・・　(4.12)
	√[tP(1-P)]

を求める。z₀は標準正規分布に従うので，両側５％点1.96または１％点2.58と比べ，z₀が大きい場合に有意差ありとすればよい。なお，(4.12)式の分子の-0.5は人数のような離散的な数値を用いる場合，連続的な分布への適合がより良くなるようにするための「連続性の補正」を行うためのものである。

例題4･3について，(4.12)式を用いてz₀を求めると，比率P=0.7756として，

	|15-23×P|-0.5
z0 =	――――――――	= 1.16866
	√[23×P×(1-P)]

となる。この値は，標準正規分布の両側５％点の値1.96より小さいので，有意差があるとはいえないことになる。また，有意確率を計算すると両側で約24.2％となり，検定法4･3で求めた確率と大差ないことがわかる。したがって，実際には(4.11)式を用いるよりも，(4.12)式による正規分布近似を用いる方が簡単であろう。

第６表　２地区での膀胱癌の発生数

地区	患者	その他	計
Ａ町	15	23485	23500
Ｂ村	8	6792	6800
計	23	30277	30300

比較のために例題4･3を第６表のように４分表にして示し，これについて解説3･2で説明したカイ２乗検定を行ってみよう。(3.6)式を用いて，

	30300×(|15×6792-23485×8|-30300/2)2
χ02 =	―――――――――――――――――――
	23500×6800×23×30277
=	1.36680

となる。χ₀²は自由度１のカイ２乗分布に従う。

ところで，独立に標準正規分布に従う変数の２乗和はカイ２乗分布に従う。すなわち，標準正規分布に従う１つの統計量を２乗したものは，自由度１のカイ２乗分布に従うことになる。そこで，正規分布近似による検定のために求めたz₀について，その２乗値z₀²を計算すると，

　　z₀²= 1.16866² = 1.36576

となる。

これとχ₀²の値を比較すると，（計算の丸目の誤差の影響で，）χ₀²の値が若干大きいものの，両者の数値は小数第２位まで一致し，どちらを用いても検定結果に重大な差を与えないことがわかる。

上記のことから，有意差を検定するためには，ここで説明したどの方法を用いても大差ないものと考えられる。したがって，有意確率を正確に求める必要がなければ，計算の簡便さからいって，(4.12)式の正規分布近似による検定法が扱い易いものといえるだろう。

なお，２項分布とポワソン分布に関して詳しく知りたい場合には，文献２を参照されたい。

文　献

1. 佐久間昭：薬効評価−計画と解析Ｉ，東大出版，1977
2. 竹内　啓，藤野和建：２項分布とポワソン分布，東大出版，1981

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