• 一元配置分散分析
• ライアン（Ryan）の方法
• シェッフェ（Scheffe）の方法
• クルスカル-ウォリス（Krusukal-Wallis）検定
• 順位和による多重比較

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神戸市看護大学

１．一元配置分散分析

例題5･1
第１表に，急性膀胱炎９例，急性腎孟腎炎８例，および急性副睾丸炎８例の尿中細菌数を調査した結果を示した．疾患により尿中細菌数が異なるといえるだろか。

第１表　尿中細菌数（／ml）のデータ

急性膀胱炎	急性腎孟腎炎	急性副睾丸炎
5.5×106	4.6×105	3.1×105
6.3×106	8.3×106	0
5.7×107	6.7×104	5.3×106
8.1×107	2.9×105	3.6×104
3.2×105	7.4×105	1.2×103
1.5×107	7.9×105	4.7×104
7.7×107	8.9×104	0
8.8×106	1.3×106	0
4.4×105

［検定法5･1］

説明を簡単にするため，急性膀胱炎をＡ群，急性腎孟腎炎をＢ群，急性副睾丸炎をＣ群と以後呼ぶことにする．３群全体での標本数は25である．まず，各群の平均値X_A，X_B，X_Cおよび全体の平均値X_Tを求める．

第１表のデータから，

　　X_A = 2.79289×10⁷

　　X_B = 1.50450×10⁶

　　X_C = 7.11775×10⁵

および

　　X_T = 1.07636×10⁷

となる．これらの値をもとに，まず(5.3)式から全変動Ｔを求めると，

　　Ｔ = 1.33155×10¹⁶

となり，級間変動Ｂは(5.4)式から，

Ｂ =	9×(XA-XT)2+8×(XB-XT)2+8×(XC-XT)2
=	4.14599×1015

となる．残差変動Ｗは(5.6)式の各変動間の関係から，

　　Ｗ = Ｔ-Ｂ = 9.16956×10¹⁵

のように求められる．これらの値から，級間分散V_Bは(5.7)式を用いて，

　　V_B = B/(3-1) = 2.07299×10¹⁴

となり，残差分散V_Wは(5.8)式から，

　　V_W = W/(25-3) = 4.16798×10¹⁴

となる．

仮説「各群の母平均値は等しい」を検定するには，V_BとV_Wから，

　　F₀ = V_B/V_W = 4.973

を求めればよい．F₀は自由度(2,22)のＦ分布に従う．自由度(2,22)のＦ分布の上側５％点は数値表から3.443であり，１％点は5.719であることがわかる．F₀は５％点の値より大きいが，１％点の値よりは小さい．したがって，５％水準で仮説は棄却される（ｐ値＝0.0165）。

この結果，少なくとも１つは母平均値の異なる群があるものと考えてよいことになる．

［解説5･1］

ある変数Ｘについて，ｋ個のグループでそれぞれ独立に測定を行ったとしよう．第ｉ群での標本数をn_iとし，各データをx_ijとする（i=1,2,...,k．j=1,2,...,n_i）．

第２表　多群のデータ

1群	2群	･･･	i群	･･･	k群
x11	x21	･･･	xi1	･･･	xk1
x12	x22	･･･	xi2	･･･	xk2
:	:		:		:
:	:		:		:
x1n1	x2n2	･･･	xini	･･･	xknk

各群のデータは，第２表で示したように整理することができる．問題は，各群間の母平均値に差があるかを統計的に検定することである．帰無仮説として，「各群の母平均値に差がない」とする．検定の手順は以下のようにすればよい．

第ｉ群での平均値X_Miは，

	1
XMi=	──	Σ xij　・・・　(5.1)
	ni

となり，全体の総平均値X_Tは，

	1		1
XT =	──	Σ Σ xij=	──	Σ ni　・・・　(5.2)
	N		N

となる．ただし，N=n₁+n₂+･･･+n_k，すなわち総標本数である．各データの総平均値からの偏差の２乗和をＴとすると，

　T＝ΣΣ (x_ij-X_T)²　・・・　(5.3)

により求められるが，これは「全変動」と呼ばれる．各群のデータが全て群の平均値にあるとすれば，その場合の変動は，

　　Ｂ＝Σ n_i(X_Mi-X_T)²　・・・　(5.4)

により求められる．Ｂは「級間変動」と呼ばれるものである．また，各群内の変動を足し合わせたものをＷとすると，

　　Ｗ＝Σ Σ (x_ij-X_T)²　・・・　（5.5)

により求められ，Ｗは「級内変動（残差変動，誤差変動）」と呼ばれる．

各変動の間には，

　　Ｔ＝Ｂ＋Ｗ　・・・　(5.6)

の関係が成り立つので，どれか２つを求めれば，他の変動は簡単に求められる．

ところで，級間変動は各群の平均値と総平均値の間のばらつきを示すものと考えられ，残差変動は群内のばらつきを示すものと考えられる．したがって，ＢとＷを用いて，群間の差と残差のどちらが大きいかを調べることができるだろう．

級間変動と残差変動をその自由度で割り，各不偏分散（平均平方和）を求めると，級間分散V_Bは，

　　V_B = B/(k-1)　・・・　(5.7)

となり，残差分散は，

　　V_W = W/(N-k)　・・・　(5.8)

により推定される．

仮説「各群の母平均値は等しい」を検定するためには，

　　F₀＝V_B/V_W　・・・　(5.9)

を求める．F₀が自由度（k-1，N-k）のＦ分布に従うことを用いて検定を行う。すなわち，自由度（k-1,N-k）のＦ分布の上側α点の値をF_α（k-1,N-k）としたとき，

　　F₀＞F_α（k-1,N-k）　・・・　(5.10)

ならば，有意水準α（５％か１％など）で仮説を棄却し，少なくとも１つのグループの平均値は他と異なるものと考えてよいことになる．有意でなければ，消極的にではあるが仮説を採択し，差があるとはいえないことになる．なお，上記の方法では，どのグループ間に有意差があるかは特定できない．

例題5･2
第１表に示した尿中細菌数に関して，分散分析による検定では有意差が認められた．ここでは，同様のデータをもとに特定の２グループ間の母平均値に差があるか否かを検定しよう。

［検定法5･2］

ここでは，検定全体の有意水準を0.05（５％）とし，「ライアンの方法」を用いて特定の２グループ間の母平均値の差の検定を行なう．

すでに求めたように３群の平均値の間には，X_A＞X_B＞X_Cの順序がある。したがって，まずＡ群とＣ群の母平均値の差を検定する。

(5.11)式に各数値を代入すると，

	XA-XC
t0 =	─────────	= 2.743
	√[VW(1/9+1/8)]

となる．t₀は自由度25-3=22のｔ分布に従う．

また，この検定の名義的な有意水準は(5.12)式から，

　　α' = 2×0.05/{3×(3-1)} = 0.017

となる。自由度22のｔ分布について，t₀の有意確率を計算すると，ｐ＝0.012となり，1.7％より小さい。したがって，２群の母平均値に有意差が認められる。

次に、Ａ群とＢ群を比較すると、

	XA-XB
t0 =	─────────	= 2.663
	√[VW(1/9+1/8)]

となり、ｐ＝0.014で、同様に1.7％より小さく有意差が認めらた。

Ｂ群とＣ群に関しては、

	XB-XC
t0 =	─────────	= 0.077
	√[VW(1/8+1/8)]

となり、ｐ＝0.997、であり、有意差は認められない。

［解説5･2］

一元配置分散分析の結果が有意である場合，どの群間の母平均値に有意差があるのかを検討する必要があるだろう．ここでは，各２群間の母平均値の差について検定を行うことで，どのグループ間に有意差があるかを調べる方法，いわゆる「対比較（対比）」について説明する．

グループ数がｋ個ある場合，各２群間の母平均値の差を全ての組合せについて検定すると，ｋ個のうち２群を選ぶ組合せの個数は，k(k-1)/2　個ある．したがって，各検定の有意水準をαとすれば，検定全体での有意水準はその約k(k-1)/2倍となってしまう．かりに，グループ数が５の場合でも，組合せの個数は10通りあり，各検定の有意水準を５％としても，全体では，1-(1-0.05)¹⁰=0.40，すなわち40％程度の水準となり，極めて大きな有意水準を設定することになってしまう．

上記のような弊害を避けるためには，各検定の水準を組合せの個数で割ったものとすればよい．すなわち，全体の検定水準をαとしたければ，個々の検定の水準を2α/{k(k-1)}とすればよい（Bonferroniの不等式の利用による方法）．しかし，この基準を用いると，グループ数が大きくなるにつれ，個々の検定の有意水準は極めて小さくなり，検定結果は有意となりにくくなる．このような有意水準の設定は厳し過ぎるといえよう．ここでは，以下のような手順により群間の母平均値の差の検定を行う．

まず，各群の標本平均を大きさの順に，

　X_M1≧X_M2≧･･･≧X_Mi≧･･･≧X_Mj≧･･･≧X_Mk

のように並べる．ｉ番目とｊ番目の平均値の比較には，それぞれの標本数をn_i，n_jとしたとき，

	XMi - xMj
t0 =	―――――――――	・・・　(5.11)
	√[VW(1/ni+1/nj)]

を求める．ただし，V_Wは(5.8)式による誤差分散である．t₀が自由度(N-k)のｔ分布に従うことを用いて検定できる．検定全体の有意性をα（５％か１％など）とする場合，個々の検定の有意水準α'は，

	2α
α' =	―――	・・・　(5.12)
	k(j-i)

と設定する．従って，自由度(N-k)のｔ分布の両側α'点の値ｔ_α'/2(N-k)とt₀を比べ，t₀の方が大きければ有意差ありとすればよい．

実際の計算は，平均値が最大と最小のペアから始め，有意ならば最大の平均値と２番目に最小の平均値の検定を行う．同様な手順で順に差が小さくなるペアに対して検定を繰り返す．最終的に，有意差が認められなくなった点で，最大の平均値についての検定を終了する．同様な手順で，２番目に最大の平均値と最小のものを検定し，有意ならば２番目に最大の平均値と２番目に最小のもの，のように以後繰り返し検定を行い，有意でない点で検定を終了する．以下同様であるが，このような繰り返しの始めから有意差が認められなければ，すべての検定はそこで終了する．

上記の手順により，全体の有意性はαに保たれるが，この方法は「ライアンの方法」と呼ばれるものである．

例題5･3
第１表に示した尿中細菌数について，「シェッフェの方法」により各群の平均値の差を検定してみよう．

[検定法5･3]

ここでは，各２群間の母平均値の差を検定するだけではなく，特定の群と他の２群をこみにした場合についての検定も行うことにする．

検定全体の有意水準は0.05，すなわち５％とする．自由度(2,22)のＦ分布の上側５％点の値は，数値表より3.443である．これを(5.18)式に代入することで，

　　d = √[(3-1)×3.443] = 2.642

であることがわかる．このdは以下の全ての検定で共通に用いられる．

�@まず，Ａ群とＢ群の母平均値の差を検定する．すでに計算した値を用いて平均値の差は，

　μ_A･B =｜X_A-X_B｜= 2.642×10⁷

であることがわかる．Ａ群とＢ群にかける重みはそれぞれ１，-1であるから，dと(5.17)式を用いて，検定のための差の有意限界は，

　Δ_A･B = d×√[V_W×{1²/9+(-1)²/8} = 2.612×10⁷

となる．μ_A･BはΔ_A･Bより大きいので、有意差があることになる。

�A同様の方法でＡ群とＣ群について検定する．

μ_A･C =｜X_A-X_C｜= 2.722×10⁷

が２群の平均値の差であり，有意限界は，

　Δ_A･C = d×√[V_W×{1²/9+(-1)²/8}] = 2.612×10⁷

となり，同様にμ_A･Cの方が大きく，有意差が認められる。．

�BＢ群とＣ群については，

　μ_B･C =｜X_B-X_C｜= 7.927×10⁵

　Δ_B･C = d×√[V_W×{1²/8+(-1)²/8}] = 2.697×10⁷

となり，μ_B･Cの方が小さく，有意ではない．

�CＡ群とＢ，Ｃ群の２群を一緒にした場合の母平均値の差を検定する．Ａ群には重みとして１を，Ｂ，Ｃ群には-1/2を重みとする．

　μ_A･BC =｜X_A-(X_B+X_C)/2｜= 2.682×10⁷

となり，有意限界は，

　Δ_A･BC = d×√[V_W×(1²/9+(-1/2)²×(1/8+1/8)}] = 2.247×10⁷

となる．μ_A･BCはΔ_A･BCより大きいので，有意差が認められる．

�DＢ群とＡ，Ｃ群について，同様に検定する．

　μ_B･AC =｜X_B-(X_A+X_C)/2｜= 1.282×10⁷

　Δ_B･AC = d×√[V_W×(1²/8+(-1/2)²×(1/9+1/8)}] = 2.314×10⁷

となり，μ_B･ACはΔ_B･ACより小さいので，有意とはいえない．

�E最後にＣ群とＡ，Ｂ群について検定を行う．

　μ_C･AB =｜X_C-(X_A+X_B)/2｜= 1.400×10⁷

　Δ_C･AB = d×√[V_W×(1²/8+(-1/2)²×(1/9+1/8)}] = 2.314×10⁷

となり，μ_C･ABはΔ_C･ABより小さいので，有意とはいえない．

上記の結果から，尿中細菌数について急性膀胱炎と他の２群，すなわち急性腎孟腎炎と急性副睾丸炎の各群と、また一緒にして平均値を比べた場合に有意差が認められることが判った。

なお，上記の方法により検定全体の有意水準は５％となることが保証される．

［解説5･3］

ライアンの方法は，適当な２群を一対として順に母平均値の差を検定する方法であった．しかし場合によっては，幾つかのグループの平均に差がなく，それをまとめて他の複数のグループと比較したい場合もあるだろう．そのような場合，すでに説明した対比較ではなく，幾つかの平均値の線形結合（重み付して，加算したもの）により，新たに適当な統計量を求め，それを用いて比較することができる．そのような方法は「線形比較」と呼ばれ，ここでは「シェッフェの方法」を説明する．

ｋ個のグループでの変数Ｘの母平均値をそれぞれ，μ₁,μ₂,...,μ_kとする．各平均値の線形結合を，

　μ = w₁μ₁+w₂μ₂+･･･+w_kμ_k　・・・　(5.13)

とする．ただし，w_i(i=1,2,...,k)は各平均値にかかる重みであり，

　w₁+w₂+･･･+w_k = 0　・・・　(5.14)

となるように定めるものとする．

μの期待値E(μ)と分散V(μ)は，

　E(μ)=w₁X_M1+w₂X_M2+･･･+w_kX_Mk = X_M　・・・　(5.15)

および，

	w1		wk
V(μ) = σ2｛	――	+････+	――	｝　・・・　(5.16)
	n1		nk

となる．ここで，n₁,...,n_kは各群の標本数である．σ²は誤差分散であるが，これを(5.8)式によるV_Wにより推定すると，分散S_M²は，

　S_M² = V_W Σ w_i²/n_i　・・・　(5.17)

により推定できる．

上記の結果を用いて，μの100(1ｰα)信頼区間を求めることができる．自由度(k-1,N-k)のＦ分布の上側α点の値をF_α(k-1,N-k)とし，

　d = √[(k-1)･F_α(k-1,N-k)]　・・・　(5.18)

とすると，μの信頼区間の上側の点をμ_U，下側の点をμ_Lとした場合，

　μ_U＝X_M＋d･S_M，　μ_L＝X_M−d･S_M　・・・　(5.19)

により求められる。

信頼区間（μ_U，μ_L）の間に０を含まなければ，有意水準αでグループ群の間に差があることになる．実際の計算において，一方のグループに含まれる群の個数をＫ，他方をＬとした場合，比較に用いない群の平均値にかける重みは０とし，

　前者の重み=1/Ｋ，後者の重み=-1/Ｌ

のようにグループ内では同一の重みに，全体では重みの合計が０になるように設定すればよい．２群の母平均値の検定には，それぞれ１と−１の重みを付ければよいことになる．なお，全体の標本数Nが大きい場合，(5.18)式によるdは，自由度(k-1)のχ²分布の上側α点の値χ²_α(k-1)を用いて，

　d = √[χ²_α(k-1)]　・・・　(5.20)

により近似できる．また，上記のように信頼区間を設定するのは，検定すべき群の組合せの個数が多い場合，やや面倒である．そのような場合には，d･S_Mを求め，X_Mの方が大きければ有意差ありとした方が計算しやすいだろう．すなわち，

　｜X_M｜＞Δ=d･S_M　・・・　(5.21)

のとき有意差ありとすればよい．

例題5･4
慢性前立腺炎患者に無作為に，Ａ，ＢおよびＣ薬をそれぞれ25例，26例，25例に投与し経過を観察したところ，第３表のようなデータが得られた．このデータから，３薬の薬効に差があるといえるだろうか．

第３表　３薬の慢性前立腺炎への効果

群	著効	有効	不変	悪化	計
Ａ薬	8	10	6	1	25
Ｂ薬	3	9	10	4	26
Ｃ薬	3	8	11	3	25
計	14	27	27	8	76

［検定法5･4］

薬効は表に示したように，４カテゴリに分けられている．各カテゴリ間には順序が付けられるので，ここではクルスカル−ウォリス検定により，薬効差を調べることにする．

各カテゴリには，「著効」に7.5，「有効」に28，「不変」に55，「悪化」に72.5の中間順位が与えられる（連載�Tまたは�Uを参照）．

Ａ薬群の順位和R_Aは，

　R_A = 8×7.5+10×28+6×55+1×72.5 = 742.5

となり，平均順位M_RAは，

　M_RA = R_A/25 = 29.7

となる．同様に，Ｂ薬群の順位和R_Bと平均順位M_RBは，

　R_B = 1114.5 , M_RB = 42.865

となり，Ｃ薬群の順位和R_Cと平均順位M_RCは，

　R_C = 1069 , M_RC = 42.76

となる．また，(5.23)式から全体の平均順位M_Rは，

　M_R = (76+1)/2 = 38.5

と求められる．

これらの数値から検定が行えるが，データにはタイがあるので，(5.25)式からタイのある場合の修正項を求めておく．

　　

	(143-14)+(273-27)×2+(83-8)
D = 1 -	―――――――――――――――	= 0.903
	763-76

となる．(5.24)式からK₀を求めると，

	12
K0 =	――――	×{25×(MRA-MR)2+26×(MRB-MR)2+25×(MRC-MR)2}/D = 6.551
	76×77

と求められる．K₀は自由度3-1=2のχ²分布に従うものとみなせる．自由度２のχ²分布の上側５％点の値は5.991，１％点は9.210である．K₀は５％点の値より大きいが，１％点の値よりは小さい．したがって，５％水準で有意差が認められる．

上記の結果から，少なくとも１つの薬剤の効果は他と異なるものと考えてよいことになる．

［解説5･4］

特定の変数のデータが順位で与えられている場合を考えよう．グループ数をｋとし，第ｉ群での標本数をn_k，順位データをR_i1,R_i2,...,R_inとする．ただし，順位はグループ内でのものではなく，全体での順位を与えるものとする．また，順位にタイがある場合には，その中間順位を与えるものとする（連載�T，�U参照）．ここでは，全体でｔ種類のタイがあり，各タイにはそれぞれd₁,d₂,...,d_t個の同順位のデータが含まれるものとする．

第ｉ群の順位和をR_iとし，順位の平均をM_Riとすると，

　M_Ri =(R_i1+R_i2+･･･+R_ini)/n_i = R_i/n_i　・・・　(5.22)

となる．また，全体での平均値は全標本数をNとしたとき，

　M_R = (N+1)/2　・・・　(5.23)

となる．

群間に差があるか否かを調べるための統計量K₀は，

	12
K0 =｛	――――	･Σ	ni	(MRi-MR)2｝/D
	N(N+1)
	12		Ri2
=｛	――――	･Σ	――	- 3(N+1)｝/D	・・・　(5.24)
	N(N+1)		ni

により求められる．ここで，

　D = 1 - Σ (d³-d_i)/(N³-N)　・・・　(5.25)

である．タイがなければ，D=1である．

適当な定数cについて，

　　K₀≧c

ならば，有意差ありとすればよい．しかし，検定のための一般的な数値表を，さまざまなグループ数や各群の標本数に応じて使用できるように作成するのは困難である（グループ数や標本数が小さい場合のものは作成されている）．検定のためには，K₀が自由度(k-1)のχ²分布に従うことを利用すればよい．すなわち，自由度(k-1)のχ²分布の上側α（５％か１％）点の値χ²_α(k-1)とK₀を比べ，K₀が大きければ有意差ありとすればよい．χ²分布による近似は，グループ数が３以上で，各群の標本数が５以上ならばかなりよいようである．

例題5･5
例題5･4でみたように，慢性前立腺炎に対する３薬の効果には有意差が認められた．ここではどの薬群間に差があるのかを検定しよう．

［検定法5･5］

ここでは，「シェッフェの方法」により順位和のデータをもとに多重比較を行う．

例題5･4で求めた各薬群の順位平均M_RA，M_RB，M_RCとタイのある場合の修正項Dを用いて，(5.26)式により検定に必要な計算を行う．

各検定で必要な計算のうち，共通する部分の計算をまず行うことにする．それは(5.26)式の分母の一部である．すなわち，

　V = D×N×(N+1)/12 = 440.393

である．なお，以下の方法により，検定全体の有意水準は５％となる．

�@Ａ薬群とＢ薬群の薬効差について検定する．

検定のためには，Ａ薬群とＢ薬群の重みを１と-1として計算すればよい．

	(MRA-MRB)2
χ2A･B =	――――――――――	= 5.061
	V×{12/25+(-1)2/26}

となる．この値と自由度２のχ²分布の上側５％点の値5.991と比べると，χ²_A･Bの方が小さいので有意とはいえない．

�AＡ薬群とＣ薬群については，

	(MRA-MRC)2
χ2A･C =	――――――――――	= 4.841
	V×{12/25+(-1)2/25}

となり，5.991より小さいので有意ではない．

�BＢ薬群とＣ薬群については，

	(MRB-MRC)2
χ2B･C =	――――――――――	= 0.000
	V×{12/26+(-1)2/25}

となり，5.991より小さいので有意ではない．

�CＡ薬群とＢ，Ｃ薬群をこみにした場合についての差を検定する．Ａ薬群には１の重みを，Ｂ，Ｃ薬群にはそれぞれ-1/2の重みをかけることになる．

	{MRA-0.5×(MRB+MRC)}2
χ2A･BC =	―――――――――――――――	= 6.549
	V×{12/25+(-1)2×(1/26+1/25)}

となる．この値は，5.991より大きいので有意である．

�DＢ薬群とＡ，Ｃ薬群についても同様にして，

	{MRB-0.5×(MRA+MRC)}2
χ2B･AC =	―――――――――――――――	= 1.710
	V×{12/26+(-1)2×(1/25+1/25)}

となり，5.991より小さいので有意ではない．

�EＣ薬群とＡ，Ｂ薬群についても同様にして，

	{MRC-0.5×(MRA+MRB)}2
χ2C･AB =	―――――――――――――――	= 1.598
	V×{12/25+(-1)2×(1/25+1/26)}

となり，5.991より小さいので有意ではない．

上記の結果から，各２薬群間に有意差は認められないが，Ｂ薬群とＣ薬群をこみにした場合，Ａ薬群と有意差が認められた．したがって，Ａ薬が３薬の中では最も効果があるものと考えてよいだろう．また，これは�@�Aで求めたχ²値が有意ではないが，かなり大きな値となっていることとも符合している．

［解説5･5］

クルスカル-ウォリスの検定結果が有意であった場合，次の問題としてどのグループ間に差が認められるかを調べる必要があるだろう．ここでは，すでに説明した「シェッフェの方法」により，順位和を用いた一般的な対比の方法について説明する．用いる記号等は全て前節と同様である．

グループ数をk，第ｉ群の標本数をn_iとし，全データについて順位づけした場合の第ｉ群における順位和をR_i，その平均をM_Riとする．各平均値に対する重みを，３節と同様に考え，以下の統計量を計算する．

	(Σ wi･MRi)2
χ20 =	―――――――――――					・・・　(5.26)
		D･N(N+1)		wi2
	｛	―――――	･ Σ	――	｝
		12		ni

を求める．ここで，Dは(5.25)式で与えられるタイのある場合の修正項，Nは総標本数である．ただし，Σw_i=0とする．

χ²₀が自由度(k-1)のχ²分布に従うことにより検定を行う．すなわち，自由度(k-1)のχ²分布の上側α点をχ²_α(k-1)としたとき，

　　χ²₀≧χ²_α(k-1)

ならば，グループ（群）間に有意差ありとする．これにより，検定全体での有意水準はαとなる．２つのグループを比較する場合，一方の重みを１とし，他方を−１，比較に用いないものの重みは０とすればよい．基本的な考え方は３節と同様であり，そちらを参照して欲しい．

多重比較の方法について，紙面の都合もあり，全ての方法について説明を行うことはできない．ここで取り上げた方法や他の方法，理論についてより詳しく知りたい読者は，参考文献１)〜４)を参照すればよいだろう．

1. 豊川裕之，柳井晴夫編著：医学・保健学の例題による統計学，現代数学社，1982
2. E.L.レーマン原著，鍋谷清治他訳：ノンパラメトリックス，森北出版，1978（ E.L. Lehmann: Nonparametrics, Holden-Day, 1975）
3. 佐久間昭：薬効評価−計画と解析�T，東京大学出版会，1977
4. 佐久間昭：薬効評価−計画と解析�U，東京大学出版会，1981

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