判別分析と多重ロジスティックモデル

高木　廣文

医学のあゆみ，174(4), 285-289, 1995

Discriminant analysis and multiple logistic model

Hirofumi TAKAGI



■リード：
特定の疾患に対するリスク因子が多数ある場合の解析方法として，判別分析と多重ロジスティックモデルを紹介する。実例を用いて，各手法の概要と結果の解釈を中心に解説する。

■キーワード：
1.判別分析　2.多重ロジスティックモデル　3.リスク　4.疫学


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神戸市看護大学

最終更新日： 6 April 2023
無断転載の禁止 (C)高木廣文

１．はじめに

　循環器疾患の発症原因として，加齢，高塩分摂取のみならず，肉類等の摂取による高コレステロール等，いくつかのリスク因子が考えられるだろう。このように特定の疾患への罹患，または死亡等に対して，複数個の原因が考えられる場合，それらの要因の影響をどのように評価すればよいのだろうか。

　原因と考えられる変数間の相関関係を考慮し，このような目的に適した方法として，判別分析と多重ロジスティックモデルによる解析がある。

　いくつかのグループに対象者（ケース）が分類される場合，判別分析を用いることで，その分類に説明変数がどのように関係しているかを解析することができる。

　一方，多重ロジスティックモデルは，米国の Framingham Study ではじめて用いられた方法であり，心疾患のリスク因子の評価に威力を発揮したことで知られている1)｡このため，多重ロジスティックモデルはリスク関数とも呼ばれている。

　ここでは，実例による分析結果を用いて，各方法の簡単な理論的な解説とともに，結果の解釈や注意すべき点などの説明を行う。

２．判別分析について

　判別分析は，基準変数が循環器疾患への罹患の有無のように質的であり，説明変数がコレステロール値などのように量的なデータの場合に用いられる多変量解析の一方法である。判別分析を用いる主な目的として，

(1) 所属するグループが未知のケースの識別・分類
(2) 各説明変数のグループ識別への影響の程度を検討する

などがある。

　さまざまな血液学的検査値などを用いて，新来患者の疾患の診断を行うという自動診断などは，(1)を目的とした場合である。また，日常の各種の生活習慣が循環器疾患の発生に，どのような影響を及ぼすかを検討したい，というような場合には(2)のような使用目的となるだろう。

　今回も，都市，農村，漁村に在住する主婦の３１４人についての調査データ2)を用いて，分析方法の解説を行う。

　いま，グループとして高血圧群と健常群を考えよう。この２つのグループ分けに影響するものとして，質問項目の回答から計算した２２の生活習慣尺度得点と年齢，および肥満度（BMI，Kg/m２)を説明変数とする。

　この例のように，比較すべきグループが２つある場合，最も一般的に用いられる方法は，各変数について「２群の母平均値の差の検定」を行うことである。すなわち，上記の説明変数それぞれについて，表１に示したようなｔ検定を行うのが普通である。

表１．　グループ別平均値と標準偏差
変数名 高血圧群健常群 ｔ値ｐ値
1)肉・油脂4.7(1.9)4.7(2.0)0.0800.936
2)洋風の食事4.6(1.8)5.5(2.3)3.1580.002
3)高塩分4.4(2.1)4.3(1.9)0.1220.903
4)糖分3.6(2.2)4.0(2.0)1.1480.252
5)食事規則性8.5(1.8)8.4(1.9)0.3900.697
6)料理への進取性6.8(2.6)6.3(2.4)1.3190.188
7)娯楽4.3(1.8)4.5(2.0)0.5440.587
8)教養5.8(2.2)5.6(2.3)0.5500.583
9)社会奉仕4.8(2.6)5.0(3.1)0.5180.605
10)義理人情9.3(2.0)8.2(2.1)3.6470.000
11)経済型7.7(1.8)7.1(1.8)2.0810.038
12)伝統型9.6(1.7)8.7(1.9)3.0700.002
13)清潔9.7(1.6)9.9(1.7)0.5420.588
14)妻主導型7.5(2.1)7.3(2.4)0.4290.668
15)運動実施3.1(2.4)2.8(2.5)0.8820.379
16)疾病頻度5.3(2.8)2.8(2.3)6.9140.000
17)多愁訴4.2(2.6)3.7(2.7)1.2650.207
18)情緒不安定4.2(2.8)4.3(2.7)0.1910.849
19)外向性5.3(1.8)5.0(1.9)1.3580.176
20)共感性8.3(1.7)7.8(2.2)1.3370.182
21)自発性7.1(2.3)6.2(2.5)2.4120.017
22)遺伝的健康観8.0(2.2)6.5(2.6)4.0380.000
23)年齢53.6(8.7)47.2(8.7)4.8070.000
24)BMI24.2(2.9)22.8(2.9)3.3500.001
（）内は標準偏差。ｔ値と有意確率は，２群の母平均値の差の検定。
標本数は，妻主導型とBMIを除き，高血圧群53例，健常群252例。
妻主導型では高血圧群46例，健常群236例，BMIでは各52例，249例。

　表１は，高血圧群と健常群について，各変数の平均値，標準偏差，およびその検定結果を示したものである。２群の母平均値の差の検定は，ｔ分布を仮定して行われる。表中のｔ値が検定のための統計量であり，それをもとに有意確率を計算する。その有意確率が小さいほど，「２群の母平均値は等しい」という帰無仮説は考えにくくなる。表中で灰色の帯を付した変数は，有意確率が５％以上のものである。したがって，２群間で母平均値に差があると考えられる変数は，洋風の食事，義理人情，経済型，伝統型，疾病頻度，自発性，遺伝的健康観，年齢，BMIの９変数であった。

　多変量解析を用いない場合には，上記の結果から有意差のあった変数の平均値をみて，高血圧群の特徴を検討することになる。ところが，年齢をみると高血圧群で6.4歳も平均値が高い。２グループでの年齢差が，他の変数での差の原因になっている可能性があるだろう。このような場合，年齢などの影響を除いて，もしくは変数間の相関を考慮した分析を行う必要があるだろう。そのためには，多変量解析の一手法である判別分析を行えばよいだろう。

　判別分析では，判別のための「判別関数」として重回帰分析と同様に，

判別得点＝ （重み１）×（説明変数１）＋（重み２）×（説明変数２）
＋・・・＋（重みＰ）×（説明変数Ｐ）＋定数

のように，各説明変数に適当な重みをかけた式を考える。

　各グループをうまく判別するためには，このようにして求めた判別得点について，２グループでの平均的距離ができるだけ大きくなるように，各変数の重みを決めればよい。この重みは「判別係数」と呼ばれている。

　重回帰分析の場合と同様に，説明変数の影響の有無は判別係数の検定によって調べることができる。さらに，２グループの判別分析は，重回帰分析と同様な考え方で，説明変数の選択が行える。すなわち，帰無仮説「母判別係数＝０」の検定のためのＦ値の小さな変数を除いて，ある基準値以上の変数のみを残せばよい。

　ここでは，全説明変数を用いた判別分析から，Ｆ値の最も小さな変数を１つずつ除き，Ｆ値が２以上の変数のみを残した。

表２．　説明変数の判別係数
変数名判別係数Ｆ値ｐ値
2)洋風の食事-0.1671163.6520.057
6)料理への進取性0.1971335.6860.018
9)社会奉仕-0.1707905.3770.021
10)義理人情0.1324802.1110.147
16)疾病頻度0.44250225.8570.000
17)多愁訴-0.1547553.5840.059
21)自発性0.1660403.6870.056
22)遺伝的健康観0.1939656.9800.009
23)年齢0.0456474.4350.036
24)BMI0.0984242.2610.134
　定数-8.31679

　表２に示したように，変数減少法によって１０個の説明変数が判別分析に有用なものとして残された。表１に示した検定結果では，単独の変数では有意でなかった変数のうち，料理への進取性，社会奉仕，多愁訴の３変数が選択されている。逆に，単独では有意差があるものの，他の変数との関係から，判別への寄与が小さいとされた変数もある。すなわち，経済型と伝統型の２尺度である。このように，１変量解析の結果と，多変量解析の結果は必ずしも一致するものではない。なお，判別分析の場合も，重回帰分析と同様に変数選択は有意水準を５％とせずに，Ｆ値が２以上で行っており，通常の検定基準に比べるとかなり甘くなっている。

　判別得点は，表２の各判別係数を変数のデータにかけた和を計算し，定数を加えればよい。求めた判別得点が正ならば高血圧群，負ならば健常群にそのケースとして判別される。したがって，判別係数の正負によって，その説明変数のもつ意味が逆になる。表２の結果から，疾病頻度の得点が大きいほど高血圧群の可能性が高くなる。同様に，料理の進取性，義理人情，自発性，遺伝的健康観，年齢，BMIなど，いずれも値が大きいほど高血圧群の可能性が高くなる。ただし，ここで注意すべき点は，これらの説明変数が必ずしも，高血圧の原因ではないという点である。なぜならば，この調査はある一時点での断面調査なので，因果関係には言及できないからである。疾病頻度尺度は病気がち傾向を示すものであるが，これはどちらかといえば，高血圧症になった結果と考えるべきであろう。

　同様に，健康は遺伝で決まるという遺伝的健康観尺度の得点が高くなるのも，病気になった結果として，そのような考えを抱くようになったのかもしれない。社会奉仕や，洋風の食事，多愁訴が低いと高血圧群になる傾向が高いというのは，やや説明が難しい。やはり，結果として社会奉仕が困難になり，また洋風の食事を控えるような傾向があるのかもしれない。

　多愁訴は，身体が痛いなどの訴えの多さについての尺度であり，普通に考えれば，高血圧群で高いはずである。事実，表１の結果ではそのようになっている。しかし，判別分析の結果は符号が逆になっている。これは，多愁訴が疾病頻度と相関係数0.522と高い相関があるためである。すなわち，重回帰分析の場合と同様に，説明変数間に極めて高い相関が認められる場合，一方の判別係数が正であれば，他方の変数については負の値になることが多い。実際，表２の結果では疾病頻度は正の判別係数で，かつ最大のＦ値となっていることがわかる。

　求められた判別関数の妥当性は，それを用いた場合，実際にグループの判別がうまくいくかにかかっている。

表３．　見掛けの的中率について
実際判別関数による予測 計
高血圧群健常群
高血圧群381452
健常群46203249

　表３は，分析に用いた対象者について，判別関数を用いた場合に予測されるグループと，実際のグループとの一致の程度を調べるために作成したクロス表である。高血圧群では，52例中38例（73.1％）が正しく判別された。また，健常群では249例中203例（81.5％）が正しく判別され，全体の的中率は80.1％であった。このように，分析に用いた対象者について，判別関数で判別の的中率を調べる方法は，「見かけの的中率」などと呼ばれる。

　より厳しい基準で判別関数の有効性を確認するには，分析に用いなかった新規の患者などに，その判別関数を適用してみるとよい。すなわち，判別関数による分類と，専門医などの診断が一致するかどうかを調べればよい。的中率が高ければ高いほど，その判別関数は妥当性も高いといえる。

３．多重ロジスティックモデルについて

　判別分析では判別得点の正負により，高血圧群と健常群に分けていた。それでは，求めた判別得点が５の場合には，高血圧症である可能性はどのくらいの大きさなのであろうか。また，判別得点が１ならばどうなのだろうか。肥満度（BMI）が１大きくなると，どのくらい高血圧になるリスクが高くなるのだろうか。

　このような疑問に答えるには，多重ロジスティックモデルを用いた分析を行えばよい。

　ある疾患の発生率と非発生率（＝１−発生率）の比はオッズと呼ばれるが，オッズの対数をとった値（対数オッズ）に対して，

発生率
log［─────］ ＝（重み１）×（説明変数１）＋（重み２）×（説明変数２）
非発生率
＋・・・＋（重みＰ）×（説明変数Ｐ）＋定数

のような式を考える。この式の右側は，判別分析での判別得点を求める式と同じ形式であることが分かるだろう。

　発生率について，式を書き直すと，

　　　　１
発生率＝ ──────────
１＋exp［−判別得点］

となる。

　判別得点を横軸に，発生率を縦軸にとり図示すると，Ｓ字状の曲線が得られる。すなわち，判別得点が負で大きい場合には，発生率は０に近く，得点が０の場合には発生率は0.5となり，得点が正に大きくなるにつれ，発生率も１に限りなく近づいていく。この曲線はロジスティック曲線と呼ばれ，上記のモデルは多重ロジスティックモデルと呼ばれる。

　実際の計算では，各説明変数の重みを求める必要がある。判別分析の結果をそのまま用いることもできるが，ここでは最尤法と呼ばれる方法で求めた結果を表４に示した。

表４．　多重ロジスティック・モデル
変数名係数 (標準誤差)Ｆ値ｐ値
2)洋風の食事-0.1575954( 0.09788813)2.5920.108
6)料理への進取性0.2027369( 0.08867177)5.2280.023
9)社会奉仕-0.1727559( 0.07831431)4.8660.028
10)義理人情0.1213648( 0.09897231)1.5040.221
16)疾病頻度0.3291272( 0.08515986)14.9370.000
17)多愁訴-0.1192843( 0.08228413)2.1020.148
21)自発性0.1341697( 0.09486956)2.0000.158
22)遺伝的健康観0.1996079( 0.07545904)6.9970.009
23)年齢0.0535390( 0.02343440)5.2200.023
24)BMI0.0963195( 0.06652966)2.0960.149
　 定数-10.45181 ( 2.302617 )20.6030.000

　表４の結果を表３と比べると，大筋では大差のない結果といえる。ただし，義理人情のＦ値が2.111から1.504と２未満になり，説明変数としてモデルに含めるには，不適当ということになってしまった。

　表４の説明変数の係数をもとにした解釈を行うだけでは，多重ロジスティックモデルを用いる意味は薄い。説明変数のリスクを評価するためには，表４に示した各説明変数の係数と標準誤差の値から，オッズ比とその信頼区間を求めればよい。オッズ比は，リスク比の推定値に用いられる。表５では，各変数の１単位の増加によって，どれだけリスク（この場合にはオッズ比）が増えるかを示すものである。

表５．　各変数の１単位当たりの推定オッズ比と信頼区間
変数名オッズ比 ９５％信頼区間９９％信頼区間
（下限，上限）（下限，上限）
2)洋風の食事0.854( 0.705, 1.035)( 0.664, 1.099)
6)料理への進取性1.225( 1.029, 1.457)( 0.975, 1.539)
9)社会奉仕0.841( 0.722, 0.981)( 0.688, 1.029)
10)義理人情1.129( 0.930, 1.371)( 0.875, 1.457)
16)疾病頻度1.390( 1.176, 1.642)( 1.116, 1.731)
17)多愁訴0.888( 0.755, 1.043)( 0.718, 1.097)
21)自発性1.144( 0.950, 1.377)(0.896, 1.460)
22)遺伝的健康観1.221( 1.053, 1.416)( 1.005, 1.483)
23)年齢1.055( 1.008, 1.105)( 0.993, 1.121)
24)BMI1.101( 0.966, 1.254)( 0.928, 1.307)

　表５は，各変数の１単位あたりのオッズ比と，信頼区間を示している。オッズ比の信頼区間は95％と99％の両方を示した。この信頼区間に１が含まれない場合には，より積極的にその変数が高血圧症に関係すると考えてよいことになる。

　洋風の食事，社会奉仕，多愁訴の各尺度得点が高い場合には，高血圧症の罹患は低く，他の変数ではその値が大きくなると高血圧症の罹患率が高くなることが分かる。ただし，95％信頼区間でみると，料理への進取性，疾病頻度，遺伝的健康観，年齢の４変数がすべて１を越えており，逆に社会奉仕が１未満となっている。ここで，注意すべきことは，表５に示したオッズ比は，他の変数が一定，すなわち変化しないと仮定した場合に，当該の変数を１単位だけ変えればどのようなオッズ比になるかを計算したものである。

　実際には，疾病頻度と多愁訴の間のように，変数間には何らかの相関関係があることが多い。そのような場合には，一方を変えると，他方も変化するので，現実問題への適応や解釈は注意が必要である。

　ところで，他の変数が変化せずに，年齢が５歳増えた場合，高血圧症の罹患率についてのオッズ比はどのくらいになるだろうか。実際には，オッズ比は５倍ではなく，５乗になる。すなわち，５歳年齢が増えると，1.055５=1.307，となり，約1.3倍のリスク増加と推定される。いくつかの変数の組合わせについても，同様な計算により，罹患のリスクが何倍になるか推定できる。例えば，自発性得点が２増え，年齢が５歳増え，BMIが３増えた場合，他の変数が変わらなければ，

1.144２×1.055５×1.101３=2.283

となり，約2.3倍にリスクが増えることになる。

４．おわりに

　特定の疾患への罹患や死亡と，どのような変数がどのように関係しているかを解析するための手法として，判別分析と多重ロジスティックモデルによる解析を紹介した。判別分析は，どちらかといえばケースの識別，判別に説明変数がどのくらいの強さで関係しているのかを，検討するための方法といえよう。これに対して，多重ロジスティックモデルを用いる場合には，各説明変数についてオッズ比を求め，疾患の発生等にどのようなリスクがあるのかを検討する目的があるといえるだろう。両者はよく似た結果を与えるが，医学領域では多重ロジスティックモデルの果たす役割が大きいのではないかと考えられる。今後，これらの方法が様々な場で用いられることが期待される。

　なお今回も，実際の分析はＨＡＬＢＡＵを用いて行った3,4)｡また，今回紹介した判別分析，多重ロジスティックモデルの数理面に興味ある読者は，成書4)を参照していただきたい。

参考文献

  1. Truett, J., et al.:A multivariate analysis of the risk of coronary heart disease in Framingham. J. Chron. Dis. 20:511-524, 1967.
  2. 高木廣文：健康と習慣に関する重回帰分析，医学のあゆみ，印刷中，1995.
  3. 高木廣文：ＨＡＬＢＡＵ−４　マニュアル　V．多変量解析，現代数学社，1994．
  4. 柳井晴夫，高木廣文　編著：多変量解析ハンドブック，現代数学社，1986．

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最終更新日： 6 April 2023
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