• 一般のクロス表の検定
• 四分表のカイ２乗検定
• フィッシャーの直接確率（正確な確率）

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神戸市看護大学

最終更新日： 6 April 2023
無断転載の禁止 (C)高木廣文

［例題3.1］
第１表は、２種の薬剤Ａ、Ｂを慢性前立腺患者に無作為に投与し、その効果を調べたものである。これは、連載１回目の例題1.4（順位和検定）と同一の例であるが、ここではカイ２乗検定により、薬効の差を検定しよう。

第１表　Ａ薬とＢ薬の症状改善について

	著効	有効	不変	悪化	計
Ａ薬	8	10	6	1	25
Ｂ薬	3	9	10	4	26
計	11	19	16	5	51

［検定法3.1］

まず、(3.3)式を用いて、カイ２乗値χ₀²を計算する。

		82		102		62		12		32		92		102		42
χ02	= 51×(	―――	+	―――	+	―――	+	―――	+	―――	+	―――	+	―――	+	――	- 1）
		25×11		25×19		25×16		25×5		26×11		26×19		26×16		26×5
	= 5.108

となる。χ₀²の自由度は(3.4）式より、

　(2-1)×(4-1) = 3

となる。自由度３のカイ２乗分布の上側５％点の値は7.815であり、χ₀²の値はこれより小さいので、有意ではない。したがって、Ａ薬とＢ薬の効果に差があるとはいえないことになる。

第２表　変数ＡとＢのクロス表

	Ｂ						計
Ａ	Ｂ1	Ｂ2	･･･	Ｂj	･･･	Ｂl
Ａ1	n11	n12	･･･	n1j	･･･	n1l	n1･
Ａ2	n21	n22	･･･	n2j	･･･	n2l	n2･
・	・	・	･･･	・	･･･	・	・
・	・	・	･･･	・	･･･	・	・
Ａi	ni1	ni2	･･･	nij	･･･	nil	ni･
・	・	・	･･･	・	･･･	・	・
・	・	・	･･･	・	･･･	・	・
Ａk	nk1	nk2	･･･	nkj	･･･	nkl	nk･
計	n･1	n･2	･･･	n･j	･･･	n･l	Ｎ
Ｎ=n1･+n2･+･･･+nk･=n･1+n･2+･･･+n･l

［解説3.1］

クロス表の検定は、２つに大別して考えることができる。すなわち、クロス表の２つの変数の一方がグループを示すもので、他方の変数の分布にグループ間で差があるか否かを検定する場合は、「一様性の検定」と呼ばれる。また、２変数間の関連の有無を検定する場合は、「独立性の検定」と呼ばれる。しかし、これらの検定を行うための実際の計算手順は、まったく同一であり、以下に説明する方法により検定することができる。

第２表を用いて、カイ２乗検定の方法を説明しよう。２変数Ａ、Ｂに関してクロス表が作成されているものとし、変数Ａは表に示したように、ｋ個のカテゴリからなり、同様にＢはｌ個のカテゴリからなるものとする。したがって、クロス表は（ｋ×ｌ）個のマス目をもつが、各マス目は「セル（cell）」と呼ばれる。

表に示したように、変数ＡについてカテゴリA1という特性をもち、かつＢについてB1という特性をもつものの度数（人数、個数など）をn₁₁のように表すことにする。一般的にいうと、ＡについてA_iで、かつＢについてBjというセルの度数をn_ijと表すことにする。また、カテゴリA_iの度数の合計をn_i･とし、カテゴリB_jの度数の合計をn_･jとする。すなわち、

　n_i･ = n_i1+n_i2+･･･+n_il = ��_j n_ij　　(3.1)

　n_･j = n_1j+n_2j+･･･+n_kj = ��_i n_ij　　(3.2)

である。また、全体の標本数をNとする。

２変数Ａ、Ｂの関連の有無を検定するためには、統計量として、

		n112		n122		nkl2
χ02=	N･(	―――	+	――――	+･･･+	―――	-1)
		n1･n･1		n1･n･2		nk･n･l

n_ij² 　　=N･(��_i ��_j―――― - 1)　　(3.3) n_i･n_･j

を求める。χ₀²は、カイ２乗分布に従い、その自由度νは、

　　ν = (k-1)･(l-1)　　(3.4)

となる。

χ₀²の値が、自由度νのカイ２乗分布の上側５％（もしくは１％）点の値χ_0.05(ν)より大きければ、変数間に有意な関連があるものとし、小さければ関連が認められないものとして、検定を行えばよい。

ところで、変数のカテゴリ数が大きくなるにつれ、セルの個数も急激に増加し、標本数があまり大きくない場合、特定のセルの度数が極めて小さくなることがある。そのような場合、χ₀²のカイ２乗分布へのあてはまりが悪くなることが知られている。正確にいうと、セルの度数ではなく、２変数が独立であると仮定した場合の各セルの期待値が問題となる。変数ＡのカテゴリA_iかつＢのカテゴリB_jに対応するセルの期待値e_ijは、

	ni･n･j
eij =	――――	(3.5)
	N

となる。通常、期待値が５以下の場合、カイ２乗分布による近似はよくないといわれている。第１表について、「Ａ薬」で「悪化」のセルの期待値は、上式を用いて計算すると、

	25×5
期待値＝	―――	= 2.41
	51

となり、極めて小さ過ぎる。このような場合、可能ならば隣合うカテゴリ同士を併合して、検定を行う。

第３表　カテゴリの併合

	著効	有効	その他	計
Ａ薬	8	10	7	25
Ｂ薬	3	9	14	26
計	11	19	21	51

第３表は、「不変」と「悪化」を併合し、「その他」としてまとめたものである。この表からχ₀²の値を求めると、4.641となる。また、自由度は(3-1)×(2-1)=2である。自由度２のカイ２乗分布の上側５％点は5.991であり、併合した場合も、前述の場合と同様に有意でなかった。この点から、カテゴリの併合は無意味であるかのように思えるかもしれないが、有意確率を計算すると、併合前は0.164、併合後は0.098となり、５％より大きいものの確率的に小さくなっていることがわかる。ただし、カテゴリの併合により、常に有意確率が小さくなる訳ではなく、重要なことはカイ２乗分布への適合がよくなるという点に注目すべきである。

連載１回目に、wilcoxonの順位和検定を用いて第１表について検定したところ、２薬間に有意差が認められた。この点からいえば、２群間の差に関して、変数のカテゴリ間に順位を仮定できる場合には、順位和検定を用いて、２群での順位の分布の差（一定方向へのずれ）を検定すればよいだろう。カイ２乗検定は群間での一定方向への分布のずれについてではなく、特定カテゴリの分布の差（頻度の差）を検定したい場合に用いればよい。

［例題3.2］
慢性前立腺患者に、無作為にＡ薬とプラセボを各15例ずつ投与し、自覚症状について効果を調べたところ、第４表に示したような結果が得られた。このデータから、Ａ薬に効果があるといえるだろうか。

第４表　Ａ薬とプラセボの投与結果

	自覚症状		計
	改善	不変
Ａ　薬	11	4	15
プラセボ	6	9	15
計	17	13	30

［検定法3.2］

２変数のどちらも２カテゴリからなるクロス表の場合、検定に前述した計算式を用いるのではなく、より簡単な後述の計算式（3.6）を用いると、

	30×(｜11×9-4×6｜-30/2)2
χ02=	――――――――――――	= 2.172
	15×15×17×13

となる。χ₀²は自由度１のカイ２乗分布に従う。従って、自由度１のカイ２乗分布の上側５％点の値3.84と比較すると、χ₀²の値は小さいので有意とはいえない（有意確率を求めると14.1％になる）。

上記の検定結果から、Ａ薬による自覚症状改善の程度が、プラセボより効果があるとはいえないことになる。

第５表　４分表の検定

	Ｂ
Ａ	Ｂ1	Ｂ2	計
Ａ1	ａ	ｂ	ｎ1
Ａ2	ｃ	ｄ	ｎ2
計	ｍ1	ｍ2	Ｎ
n1=a+b,n2=c+d,m1=a+c,m2=b+d
N=a+b+c+d

［解説3.2］

２変数がそれぞれ２カテゴリからなる場合、クロス表は「４分表」ともよばれ、一般のクロス表に比べ検定のための計算手順は簡単である。すなわち、第５表のような４分表がある場合、

	N(｜ad-bc｜-N/2)2
χ02=	―――――――――	(3.6)
	n1n2m1m2

を求める。ここで、n₁，n₂，m₁，m₂ は表に示したように各行と各列の合計であり、Nは全標本数である。

上記のχ₀²は自由度１のカイ２乗分布に従うので、上側５％点の値3.84、もしくは１％点の値6.63と比べ、χ₀²の方が大きい場合に有意とすればよい。なお、（3.6）式の分子中の -N/2 は、「連続性の補正（イエーツの補正）」と呼ばれるもので、人数のように整数値しかとらない（離散的）データから得た統計量が、連続的なカイ２乗分布に対して、あてはまりがより良くなるようにするためのものである。ただし、連続性の補正は、

　｜ad-bc｜> N/4　　(3.7)

の場合に行い、そうでない場合には、χ₀²=0　とする。

［例題3.3］
第４表で示したＡ薬とプラセボの自覚症状に関するクロス表から、Ａ薬の効果の有無をカイ２乗検定ではなく、フィッシャーの直接確率を求めて検定する。

［検定法3.3］

まず、「計」の欄の数値が一定の場合に、第４表のようなクロス表が偶然できる確率を求める。（3.8）式より、

	15!･15!･17!･13!
p0 =	―――――――――	= 0.057046
	30!･11!･4!･6!･9!

となる。

第６表　最も偏りの大きい場合

	自覚症状		計
	改善	不変
Ａ　薬	15	0	15
プラセボ	2	13	15
計	17	13	30

検定のためには、第４表の「計」の欄の数値を一定のまま、対角成分の積の大きいセルの数値を１つずつ多くし、逆に積の小さいセルの数値は１つずつ減らしていき、各クロス表の確率をすべて求める必要がある。第６表が最も偏りが大きな状態であるが、第４表からこの状態までには、表には示していないがＡ薬で「不変」のセルが３、２、１となる３つのクロス表がある。これら、残り４つのクロス表の確率を（3.9）式を用いて計算する。

Ａ薬で不変のセルの度数が３の場合、

	4×6
p1 =	―――	× p0 = 0.011409
	12×10

となり、度数が２の場合、

	3×5
p2 =	―――	× p1 = 0.001197
	13×11

となる。また、度数が１の場合と０の場合は、

	2×4
p3 =	―――	× p2 = 0.00005699
	14×12

および、

	1×3
p4 =	―――	× p3 = 0.000000088
	15×13

となる。これらの確率の和pを求めると、

　p = p₀+p₁+p₂+p₃+p₄ = 0.0697

となる。これが、「フィッシャーの直接確率」とよばれるものである。ただし、上記の確率は一方方向の偏りのみを考えて計算されており、カイ２乗検定と対応させるためには、この値を２倍して用いればよいだろう。

　2p = 0.139

であり、有意確率は13.9％となり、５％水準に達しないことがわかる。したがって、Ａ薬の効果があるとはいえないことになる。なお、すでに述べたカイ２乗検定で求めたχ₀²値の有意確率は14.1％であり、フィッシャーの直接確率と大差ないことがわかる。

［解説3.3］

フィッシャーの直接確率は、すでに例題で示したように、検定のための有意確率を直接求める方法である。ｔ検定やカイ２乗検定などではデータからある統計量を計算し、特定の分布から５％点や１％点の値を数値表から求め、計算された統計量との大小比較で検定を行うのが通常である。この点からいえば、検定のための有意確率が、直接計算できるという利点はあるが、そのための計算がフィッシャーの直接確率ではかなり面倒であることも事実である。

すでにカイ２乗検定の説明で用いた第５表により、実際に直接確率を求める計算方法を説明する。

全標本数をNとし、変数ＡのカテゴリＡ₁、Ａ₂の度数は、表に示したようにそれぞれn₁、n₂であるとする。同様に、変数ＢのカテゴリＢ₁、Ｂ₂の度数はm₁、m₂とする。直接確率は、このような場合に偶然に４つのセルの度数が a、b、c、d となる確率、およびそれ以上に特定方向に偏った状態の確率を求めるものである。

計の欄の数値を固定した場合、変数ＡのカテゴリＡ₁かつ変数ＢのカテゴリＢ₁のセルの度数がaとなる場合を考えよう。

全標本数Nのうち、変数ＡについてカテゴリＡ₁がn₁となる場合の数は、

	N!		N!
NＣn1 =	――――――	=	――――
	n1!･(N-n1)!		n1!･n2!

通りある。また、n₁のうち変数ＢについてaがＢ₁に、bがＢ₂となる組み合わせの数は、それぞれ、

	m1!		m1!
m1Ｃa =	――――――	=	――――
	a!･(m1-a)!		a!･c!

通りと、

	m2!		m2!
m2Ｃb =	――――――	=	――――
	b!･(m2-b)!		b!･d!

通りになる。したがって、第５表が偶然できる確率p₀は、

	m1Ｃa･m2Ｃb		n1!･n2!･m1!･m2!
p0=	――――――	=	―――――――	(3.8)
	NＣn1		N!･a!･b!･c!･d!

により求められる。

検定のためには、第５表の状態がさらに偏った４分表も考慮する必要がある。

第７表　偏らせた４分表

	Ｂ
Ａ	Ｂ1	Ｂ2	計
Ａ1	ａ＋ｉ	ｂ−ｉ	ｎ1
Ａ2	ｃ−ｉ	ｄ＋ｉ	ｎ2
計	ｍ1	ｍ2	Ｎ

いま、ad>bcとしよう。偏った状態とは、第７表に示したように、積の大きい方はより大きくなるように、また小さい方はより小さくなるように各セルに１ずつ度数を増減することである。第７表で、i=0とすれば第５表と等しく、i=1とすれば１だけずらした表となる。bとcのうち小さい方の値をkとすると、各セルの度数は０以上なので、iのとり得る値は、0,1,...,kとなる。それらのすべての４分表の確率を計算する必要がある。しかし、（3.8）式を各表について計算する必要はない。

第７表でi=1とした場合の確率p₁は、p₀を用いて、

	b･c
p1 =	──────	･p0
	(a+1)(d+1)

となり、同様にi=2の場合、p₁を用いて、

	(b-1)(c-1)
p2 =	──────	･p1
	(a+2)(d+2)

により求められる。

一般に、確率p_iが求まれば、（i+1）番目の表の確率は、

	(b-i)(c-i)
pi+1 =	――――――――	･pi	(3.9)
	(a+i+1)(d+i+1)

により求められる。

フィッシャーの直接確率pは、これらの確率をすべて足し合わせたものである。すなわち、

　p = p₀+p₁+･･･+p_k　ただし　k=Min(b,c)

である。

上記の手順により求められた確率pは、特定方向のみの偏りを問題としている。したがって、片側検定でよいという確固とした理由がある場合以外は、そのままの値を用いるのではなく、数値を２倍した値を検定のための有意確率として用いればよいだろう。

ところで、４分表の検定としてフィッシャーの直接確率を用いるか、カイ２乗検定を用いるかという問題があるが、できる限りフィッシャーの直接確率を求めるべきであろう。しかし、直接確率の計算には階乗計算が含まれるので、標本数が大きくなると若干面倒くさくなるし、計算手順をうまくしないとせっかく求めた確率が正確でなかったりすることもある。パソコンが使える場合には、適当な統計パッケージ（例えば、現代数学社発行のHALBAUなど）を利用すればよいだろう。ただし、すでに例題で示したように（3.6）式によるカイ２乗検定の結果と、フィッシャーの直接確率によるものに大差はなかった。したがって、標本数がある程度大きければ、どちらを用いて検定しても結果に影響はないだろう。

最後に、これまで説明した方法を用いて、いくつかの例題を解いてみよう。

［例題3.4］
第８表は、女性の腹圧性尿失禁患者にＡ薬を投与し、３つの年齢群別にその効果を調べたものである。このデータから、年齢による薬効差があるといえるだろうか。

第８表　年齢別によるＡ薬の効果

年　齢	改善	不変	計
20歳未満	13	11	24
20〜49歳	21	15	36
50歳以上	43	21	64
計	77	47	124

［検定法3.4］

すでに示したように（3.3）式を用いて、

		132		112		212
χ02=	124×（	―――	+	―――	+	―――
		24×77		24×47		36×77
		152		432		212
	+	―――	+	―――	+	―――	- 1）
		36×47		64×77		64×47
=	1.563

となる。自由度は(3-1)×(2-1)=2である。

自由度２のカイ２乗分布の上側５％点の値は5.991であり、χ₀²の値はこれより小さいので有意ではない。したがって、Ａ薬の効果に年齢差があるとはいえないことになる。

［例題3.5］
第８表に示した例では、50歳以上の患者群の標本数が他の群に比べ多くなっている。そこで、第９表に示したように49歳以下の患者を１つのグループにまとめて、２群間の改善の割合に有意差があるか検定してみよう。

［検定法3.5］

49歳以下での「改善」の割合は34/60で、これは約56.7％であり、50歳以上では同様に約67.2％となり、２群間に10％以上の差がみられる。このように２群での比率の差を検定する場合、「２つの母比率の差の検定」と呼ばれる方法を用いることもあるが、それは（3.6）式による４分表のカイ２乗検定と完全に一致する。ここでは、（3.6）式を用いて検定する。

	124×(｜34×21-26×43｜-124/2)2
χ02=	――――――――――――――	= 1.044
	60×64×77×47

となる。この値は、自由度１のカイ２乗分布の上側５％点の値3.84より小さいので有意とはいえない。なお、χ₀²の値の有意確率を計算すると約30.7％である。したがって、Ａ薬の効果に年齢差があるとはいえないことになる。

［例題3.6］
第９表について、フィッシャーの直接確率を求めて、Ａ薬に年齢差があるか否かを検定する。

第９表　２群間のＡ薬の効果の差

年齢群	改善	不変	計
49歳以下	34	26	60
50歳以上	43	21	64
計	77	47	124

［検定法3.6］

第９表の標本数は、フィッシャーの直接確率を求めるにはやや大きすぎるが、カイ２乗検定との比較という点で、実際の計算を示してみたい。

まず、（3.8）式を用いて第９表が偶然できる確率p₀を求める。

	60!･64!･77!･47!
p0 =	――――――――――	= 0.071620
	124!･34!･26!･43!･21!

である。このp₀を用いて、「50歳以上」かつ「不変」のセルが21から０まで変化させた場合の各確率を（3.9）式を利用して計算すればよい。セルの度数が20の場合の確率p₁は、

	34×21
p1 =	―――――――	× p0 = 0.043044
	(43+1)×(26+1)

となる。以後、順に確率を求めていけばよいが、それらの確率を第10表にまとめて示した。

第10表　直接確率の計算

度数*	確　　　率	度数	確　　　率
21	7.1620×10-2	10	8.8307×10-8
20	4.3044×10-2	9	9.7180×10-9
19	2.2547×10-2	8	8.8103×10-10
18	1.0276×10-2	7	6.4918×10-11
17	4.0668×10-3	6	3.8219×10-12
16	1.3939×10-3	5	1.7583×10-13
15	4.1247×10-4	4	6.1335×10-15
14	1.0499×10-4	3	1.5539×10-16
13	2.2888×10-5	2	2.6734×10-18
12	4.2506×10-6	1	2.7675×10-20
11	6.6833×10-7	0	1.2881×10-22
* 度数は、「50歳以上」かつ「不変」のセル の度数を示す。

すべての確率を加えると、フィッシャーの直接確率pは、

　　p = p₀+p₁+p₂+･･･+p₂₁ = 0.15349

となる。この値を２倍すると約0.307、すなわち30.7％となる。これは、先の例題で示したように、カイ２乗検定により求めたχ₀²値の有意確率と一致している。

上記のことから明らかなように、ある程度標本数が大きければ、苦労してフィッシャーの直接確率を求める必要はなく、カイ２乗検定を行えばよい。

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